ひーぞう さん ご質問有難うございます。
実際には、安くなるはず？です。
引越し業者が皆さんに販売する際のダンボール代は、サイズによりますが３００～５００円／１枚です。勿論仕入れ価格もそれなりです。
一般的には、契約のプレゼントとかサービスと称して、３０～５０枚程度を引越し業者はダンボールをくれます。これを金額にすると、１０，０００～２０，０００円になります。仕入れにするとその半額くらいでしょうか。
引越し業者にすると、それをユーザーに渡さなくて良いのであれば、その分経費がかからないことになるので値引きが出来て当然です。
ただ、これはあくまでも経営者的感覚ですので、大手の営業マンであればあるほど、自身の営業成績のためにも、契約価格は下げたくない心理が働くのです。
その結果、「ダンボールなどはサービスなので、それをお渡ししなくても値段はかわりません。」などのトークで、値引きをなるべくしない方向で話をすすめてくるかもしれません。逆に契約を取るために、「その分お安くしておきますね。」という営業マンもいるでしょう。
大切なのはひーぞう さん ご自身が、必ずその分を安くしてくれるところで契約をするという気持ちを持たれることです（笑）
私がひーぞう さんなら、ダンボールなどが必要ないことはなるべく最後までとっておいて、値引き交渉の切り札します。で、それまでの提示額の５，０００～１０，０００円を値引きさせられれば良いと思います。
正井ガイドの意見とは違って、私は他社のダンボールなどでも気にしない派でした。もちろん、ダンボールが自社ものもなら作業しやすいのは間違いないですが、これは作業員によって意見が分かれるところかもしれませんね。
引越し業者を選定される際は、是非当サイトの一括見積もりサービスをご利用ください。
【追記】
当サイトでは、上記でご案内させて頂いた引越しの
一括見積もりサービスとは別に、不用な家具や粗大ごみ等を処分してくれる専門業者さんにまとめて
見積もり依頼ができるサービスもご案内させていただくようになりました。
引き取って欲しい家具などがある場合でお時間に余裕がある方は、引越し業者の
一括見積もりサービスと合わせて以下のページも参考にしてください。