ともり さん ご質問有難うございます！
何らかのご事情で、どうしても「町の清掃工場に持ち込んで処分してもらいたい」のか、それとも２階の本棚が家から無くなれば出来る限り費用が安い方が良いのかで方法が違ってきます。
ただ、いずれの場合も引越し業者に依頼すれば大丈夫です。
まず前者の場合ですが、大抵の引越し業者は問題なく対応してくれるはずです。
大型の本棚ということなので、窓やベランダから吊り降ろす必要があるとして、移動先の清掃工場は１０分なので12,000～20,000円あたりの業者が多いと思います。
階段を通るようなら、8,000～15,000円あたりでしょうか。
ただ、引越し業者としては届け先が新居でも清掃工場でも問題ないのですが、粗大ゴミの清掃工場への持ち込みは、自治体によっては個人本人以外は指定業者にしか認めていない場合がありますから、そこは事前に確認が必要だと思います。
そして後者の場合ですが、本棚によってはリサイクルが可能な場合があります。
この場合、買取料金がもらえる場合さえあります。
そこまで行かないまでも、非常に安く引き取ってもらえたり、引取代が無料になるケースもあります。
引越し業者は、家具がどういう状態の物であっても全て不用品として引き取るところもあれば、リサイクル部門があったりリサイクル業者と密接に提携していて、引き取る家具などに価値を見出す・・・つまり非常に安く（もしくは無料で）引き取ってくれる業者もあるかもしれません。
ですから、多くの引越し業者に問い合せをして比較することが重要です。
一般的な引越し専用の入力フォームになっていますので、引越しされる人数は大人1名を選んで、引越し先の都道府県は住所地のものを選んで先に進めてください。
荷物の項目は何も選ばなくても先に進めます。
最後のページに要望事項をフリーで記入できる欄がありますので、そこに今回のご
質問内容をそのまま記入して申し込んでみてください。
すぐに複数の業者から連絡が来ますので、清掃工場に持ち込む場合と引き取る場合の二通りの料金を出してもらって、一番安い業者を選択してください。
【追記】
当サイトでは、上記でご案内させて頂いた引越しの
一括見積もりサービスとは別に、不用な家具や粗大ごみ等を処分してくれる専門業者さんにまとめて
見積もり依頼ができるサービスもご案内させていただくようになりました。
引き取って欲しい家具などがある場合でお時間に余裕がある方は、引越し業者の
一括見積もりサービスと合わせて以下のページも参考にしてください。